ダンドラン球(Dandelin Spheres)

楕円

楕円は不思議だ。
調和のとれた円からほんの少しずれただけなのに、ひどく複雑になる。

高校時代、ふと楕円の周長が気になった。

なぜなら楕円の面積は定積分で導くか正射影で導けば簡単に abπ の形で表せるのに、周長については言及すらほとんどなく、章もそこまで深くなかったからだ。
おそらく積分で弧の長さを求めるとき、極座標の章あたりの後ろのほうで楕円・双曲線のパートに短く触れられていた程度だろう。

当時の好奇心を刺激するには十分だったし、当時正射影の魅力に魅了されていたこともあり、正射影を使った楕円の周長計算を試みた。

問いの数々

高校時代はいろいろと妄想にふけっていた時期で、それを解消するためにFacebookの数学グループに質問を投稿したり、先生にメールで煩わしく質問を送ったりしていた。
夢はころころ変わったが、当時（おそらく高2の頃）は数学科を志していた。妄想は多方面に発散したが、振り返ってみると収束させる能力あるいは意志までは持ち合わせていなかったように思う。無限の質問に答えてくれるGPTがあったなら、何か変わっていたのだろうか？ ときどき、やり残した後悔だけが残る。

2014年のオイラーデー。オイラー定数の2.7…にちなんで2月7日にKIAS（Korea Institute for Advanced Study、高等科学院）で行われたオイラーに関する一般講演を聴きに行った。当時はNaverブログにあれこれ書き残していた時期なので、どこかに記録が残っていると思っていたが、今は何の痕跡もない。
失われた記憶のようで少し惜しい。今こうしてブログを書いている理由のひとつも、覚えておきたかったものを失いたくないという気持ちがある。当時も面倒くさがりだったので、残っているのはこの程度だと思う。物理学者の夢もそう長くは続かなかった。

ともあれオイラーデーの話に戻ると、正確にどの講演を聴いたかは覚えていないが、おそらくオイラーの等式の美しさを伝える場だったのだろう。今ではすっかり忘れてしまったが、講演に深く感銘を受けて帰り、想像を巡らせ始めた。時期的に複素数、幾何とベクトルといったものを盛んに学んでいた頃なので、学びの境界の中で想像を広げていた。\

四元数

目的を持った、何かが導かれるような思考実験ではなかったが、「そうなるんじゃないか？」という考えが問いとして残っていた。複素平面という見慣れない座標系に疑問を持っていたので、これを空間に拡張したらどうなるだろう？ どの軸を追加すればいいのか？そんな問いを思い浮かべていた。
今振り返って当時影響を受けた本を思い出してみると、こうした本が影響を与えていたように思う。シリーズごとに後半に前の内容を活用した創作物語が載っていて、その部分を読むのが好きだった。

리만이 들려주는 4차원 기하학 이야기 | 정완상 | 자음과모음 - 예스24

우리는 3차원 공간에서 살고 있다. 그럼 4차원은 뭘까? 4차원 공간이 있고 그 곳에서 사는 사람들이나 물체들은 우리와 어떻게 다를까? 이런 의문을 품고 있는 사람이라면 이 책을 읽어볼 것을 추천한다. 4차원 이상의 기하학의 창시자인 천재 수학자 리만의 9일간...

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리만이 들려주는 4차원 기하학 이야기 | 정완상 | 자음과모음 - 예스24

そうした問いを解消する場がなかったので、当時2年生のときの担任で数学の先生にメールを送った。

自分なりに当時は画期的なアイデアだと思って送ったところ、思慮深い返信をいただいた。

知らない分野のキーワードを探すことすら難しかった、あるいは意志が足りなかった時期なので、キーワードは私にとって良い答えだった。 ここでもっと数学に志があったなら、もっと深く掘り下げていたのではないだろうか。その後、四元数について調べてはみたものの、これが何のためのものなのかがつながらず、すぐに興味を失った。
そうして10年以上が過ぎ、あの頃の自分にGPTがどんな答えを返してくれたのかがふと気になり、聞いてみた。これがこの記事を書くきっかけでもある。

最近o3とよく話すのだが、なかなか冷たく、冷静なやつだ。それを差し引いても、当時こんな答えをもらっていたら気持ちが冷めていたかもしれない。致命的な欠陥を「ズバリ」指摘してくるとは。それでも四元数がなぜ必要なのかについては良い答えだった。 私には数学者の種はなかったが、同じような問いへの答えを必要としている人にとっては大きな助けになる問いだったと思う。もしかすると将来、学問的な問いはもはや学校ではない場所で解決されるようになるのかもしれない。

なぜjが新しい軸ではないのか、なぜ2次元から4次元への拡張なのかについても、丁寧な誘導を通じて10年越しに問いの答えを見つけてくれた。

八元数（Octonion）、十六元数（Sedenion）といった興味深い拡張へのキーワードも拾うことができた。GPTと一緒に学生時代を過ごしていたら本当に楽しかっただろう。過ぎてみれば、そう思わずにはいられない。
続きの対話に興味がある方は、以下のリンクからどうぞ。

ChatGPT - 수학적 한계와 확장

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ダンドラン球

話を戻すと、発散し続ける私の未解決事件のひとつである楕円に関する問いは、Facebookに投稿していた。
上でも触れたように、当時は正射影がもたらす性質に魅了されていたので、周長も正射影で求めようという過ちを犯し、公開の場に投稿してしまった。展開図で直線として表されるところからして誤りがあったため、自分自身でも証明できなかったが、当時の回答を思い返しても、とにかく楕円の周長は難しいものとして決着がついていた。

どこから間違っていたのだろう？
この問いを正すためには、まず円柱の断面は楕円なのか？ を確かめる必要があった。
時が流れ、数学科を卒業したわけではないが、GPTの助けを借り、コードは多少書けるようになったので作ってみた。数学的な証明ではなくとも、直感を助けるシミュレーションを作った。いろいろなスライダーを動かしたり、カメラを回転させたりしながら観察してみてほしい。

円柱を貫く傾いた平面。その間に、平面と円柱の両方に内接する球を上下に2つ入れる。
球S1、S2と平面が接する点をそれぞれF1、F2とし、傾斜平面と円柱の交線上の任意の点をPとする。
このときPを円柱の軸方向に各球の接点と結び、その点をそれぞれP1、P2とする。 Pの位置が変わっても、P1P2の長さは変わらない。

このとき球の外部の点Pから引いた各接線、PP1とPF1、PP2とPF2は、それぞれ長さが等しい。これをより簡単に理解するには側面から見るボタンを押してみてほしい。
楕円の定義とは何か？
平面上の2つの定点からの距離の和が一定である点の集合である。
PF1はPP1と等しく、PF2はPP2と等しいので、この2つの和もP1P2と等しい。すなわち傾斜平面上の楕円の焦点はF1とF2になる。

ダンドラン球（Dandelin Spheres）は通常、円錐と平面の間に内接するが、この場合は円柱でも問題なく成り立つ。

楕円の周長

私が犯した大きな間違いは、断面の展開図を誤って表現したことである。直線で描くことはできない。
これを可視化するために、円筒座標系上の円柱を作ってみた。先ほどと似ている。\

楕円上の任意の点Pに対する角度シータ（θ）を基準に、高さの方程式を求めてみよう。傾斜平面の方位角はなく、傾斜角ひとつだけが存在すると単純化しよう。このとき傾斜角αは平面の傾きに応じて変化する。円柱を展開してh(θ)を平面上に展開すると、sin関数の形で表される。

このときk = r tan α は定数なので、傾斜角に応じてsin関数の振幅だけが変わると見なせる。したがって楕円の周長はこの関数を積分して求められる。

結局、楕円の周長を求めることは、sin関数の弧の長さを求めることと同じである。

ある関数 y = f(x) が区間 [a, b] で微分可能であり、導関数 f′(x) が連続であるとき、この区間における曲線 y = f(x) の弧の長さ L は

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} \, dx

で与えられる。

公式の導出は各自でやってみてほしい。
この公式を適用すると、楕円の周長は次のように表される。

関数 : f(θ) = k sin θ (k = r tan α)
区間 : [0, 2π]
導関数 : f′(θ) = k cos θ

区間 [0, 2π] は同じ形が4回繰り返されるので、区間を [0, π/2] に縮めて4を掛ける。

L = 4 \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{r^{2} + (k\cos\theta)^{2}} \, d\theta

ここで $r^{2}$ の項を省くと周長が過大評価されるため、必ず含める必要がある。ここでkを展開すると、以下のような形になる。

L = 4r \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 + \tan^2 \alpha \cos^2 \theta} \, d\theta

少し整理してみよう。

1 + \tan^2 \alpha \cos^2 \theta = 1 + \tan^2 \alpha(1 - \sin^2 \theta) = 1 + \tan^2 \alpha - \tan^2 \alpha \sin^2 \theta

便宜上、次のように定義する。

m := \tan^2 \alpha \; (m > 0), \; A := 1 + m = 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha

すると次のように表せる。

\sqrt{1 + m\cos^2 \theta} = \sqrt{A - m\sin^2 \theta} = \sqrt{A} \sqrt{1 - \frac{m}{A}\sin^2 \theta}

ここでmとAを代入すると、以下のように表せる。

\frac{m}{A} = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \sin^2 \alpha

$\sin \alpha$ をkに置換すると、以下のように表せる。

L = 4r \sqrt{A} \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2\sin^2 \theta} \, d\theta = 4r \sec \alpha \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2\sin^2 \theta} \, d\theta

このとき積分部分は第2種完全楕円積分の形と呼ばれる。すると以下のように整理できる。

L = 4r \sec \alpha \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2\sin^2 \theta} \, d\theta = 4r \sec \alpha \cdot E(k)

ここでE(k)は第2種完全楕円積分関数である。

では $4r\sec \alpha$ は何を意味するのか？ 4は各象限に対する掛け算であり、

r\sec \alpha = r \frac{1}{\cos \alpha} = a

であるから、楕円の半長軸に相当する。楕円の半長軸は通常aで表される。
少し整えると、以下の形にまとまる。

L = 4a \cdot E(k)

これで証明とまではいかなくとも、楕円積分の形を導出する過程までは終わった。

では積分を計算してみよう。しかし